Народився у Донецьку 12 серпня 1964 р. у родині шахтаря та шкільної вчительки.

У 1986 р. з відзнакою закінчив гірничий факультет Донецького політехнічного інституту за фахом «Технології і комплексна механізація підземної розробки родовищ корисних копалин».

Ще у 1983 р. почав працювати гірником на шахті ім. Засядька. В 1984–1985 рр. — на шахті ім. Горького, де багато років пропрацював і його батько. Після закінчення інституту був направлений до Луганської області на шахту «Білоріченська» і призначений заступником начальника ділянки шахтного транспорту.

У 1986 р. Андрій Петрович вступив до аспірантури, згодом успішно захистивши кандидатську дисертацію. До 1991 р. працював викладачем і науковим співробітником Донецького політехнічного інституту. За результатами наукової діяльності отримав 18 авторських свідоцтв на винаходи. Молодий і амбітний фахівець, Андрій Петрович вирішив не зупинятися на викладанні, тому відкрив власне приватне підприємство і почав запроваджувати свої розробки на шахтах регіону. Новації Клюєва дозволяли будувати підземні споруди в складних гірничо-геологічних умовах.

Вивчив ринок технічної продукції в Україні та за кордоном. З нуля на кредитні гроші побудував підшипниковий завод. Разом із братом Сергієм він створив одне з перших у Донецькій області акціонерних товариств. Почали постачати свої підшипники на вітчизняні підприємства та за кордон, переважно в Італію. Брати Клюєви разом збудували також завод з обробки граніту й мармуру. Андрій Петрович особливо пишається одним із великих замовлень: граніт на будування храму Христа Спасителя у Москві постачав і його завод. Енергійний підприємець, він також відродив Артемівський завод з обробки кольорових металів. Згодом «Укрпідшипник» перетворився на велику корпорацію, до якої увійшли півтора десятки підприємств видобувної, обробної, металургійної, машинобудівної промисловості.

У 1994 р. Андрій Клюєв став заступником голови Донецької обласної ради. Потім двічі був заступником голови обласної адміністрації, першим заступником міського голови Донецька. Це був складний час для економіки Донбасу, та й усієї України. Команда, до якої входив А. Клюєв, мала відновити промисловість після тяжкої кризи початку 90-х, закласти основи майбутнього росту. Андрій Петрович був одним з ініціаторів створення в області спеціальних економічних зон — «Донецьк» та «Азов», а також територій пріоритетного розвитку у депресивних містах та районах Донецької області. Брав безпосередню участь у розробці нормативної та законодавчої бази для забезпечення їх ефективного функціонування. У результаті було схвалено 188 інвестиційних проектів на загальну суму $3861 млн.

За внесок у створення економіки територій пріоритетного розвитку в Донецькій області, вирішення проблем соціально-економічного розвитку регіону у травні 1999 р. указом Президента України А. Клюєва було нагороджено орденом «За заслуги» III ст.

Із середини 90-х Андрій Клюєв також веде активну громадську і політичну діяльність. Із 1996 р. був депутатом Донецької міської ради, а в 2002 р. обраний депутатом Верховної Ради України, очолював парламентський Комітет із питань паливно-енергетичного комплексу, ядерної політики і ядерної безпеки.

Упродовж 2003–2004 рр. працював віце-прем’єр-міністром в уряді Віктора Януковича, очолював урядовий комітет із питань промислової політики, паливно-енергетичного комплексу, екології та надзвичайних ситуацій.

У серпні 2006 р. увійшов до нового складу уряду під керівництвом Януковича — знову на посаду віце-прем’єр-міністра. Пропрацював до позачергових виборів до Верховної Ради, на яких у вересні 2007 р. його було знову обрано народним депутатом.

11 березня 2010 р. Андрія Клюєва призначено на посаду Першого віце-прем’єр-міністра України. З початком адміністративної реформи 9 грудня того ж року Президент України призначив Андрія Клюєва на посаду Першого віце-прем’єр-міністра — Міністра економічного розвитку і торгівлі України.

У Партії регіонів він практично з моменту її заснування. Кілька років працював секретарем політради партії, а 2008 р. його було обрано заступником голови цієї політичної сили. Колеги знають Андрія Клюєва як працьовиту й обов’язкову людину, яка завжди дотримується слова.

Разом із дружиною Жанною Вікторівною (за спеціальністю вона економіст) Андрій Петрович виховує трьох синів: Богдана, Кирила та Сергія.

Головним життєвим принципом і запорукою успіху Андрія Клюєва є його кредо: «Стабильность и созидание».